Fungsi komposisi merupakan bagian dari pelajaran matematika baik itu untuk anak sekolah dasar maupun sekolah menengah. Fungsi adalah relasi dari himpunan atau kelompok misalnya dilambangkan dengan A, dengan kelompok atau himpunan yang dilambangkan dengan B.

Setiap anggota dari kelompok A dapat dipasangkan dengan anggota dari kelompok B. Dalam menerapkannya, maka dapat dikatakan sebagai fungsi. Satu fungsi yang terbentuk bisa dilanjutkan dengan fungsi lainnya.

Hal ini bisa membentuk fungsi baru yang bernama fungsi dan komposisi. Fungsi ini merupakan hasil dari kedua fungsi yang sudah digunakan sebelumnya. Fungsi ini juga bisa disajikan dalam bentuk rumus, diagram panah, pasangan berurut, dan juga diagram cartesius.

Contents show

Sejarah dari Timbulnya Fungsi Komposisi

Awal mulanya timbul fungsi ini sejalan dengan ilmu matematika yang berkembang. Awalnya dikenal sebagai deretan abstrak sederhana yang selalu bertambah banyak dan merupakan perluasan dari pokok permasalahan.

Abstraksi ini awalnya berlaku pada binatang dan bilangan. Misalnya saja ada dua jenis binatang seperti ayam dan sapi memiliki jumlah yang sama. Selanjutnya ayam dan sapi ini tentunya dimasukkan ke dalam kandang yang berisi kunci. Maka persamaannya dihitung menjadi f(kunci).

Selain itu, gudang-gudang penyimpanan bahan makanan, beras, susu, dan lain sebagainya juga menggunakan kunci sehingga sering dinyatakan dengan fungsi (f). Hanya saja peristiwa ini tidak dibukukan dan dicatat dalam sejarah.

Pencatatan awal mula tentang fungsi dan persamaan adalah pada tahun sekitar 1350-an yang dicatat oleh Oresme. Ia mempunyai ide tentang fungsi dependent dan independent pada sebuah variabel dalam kuantitas barang.

Selanjutnya pada masa revolusi Industri Gottfried Leibniz membukukan teori tentang fungsi. Nantinya teori ini menjadi cikal bakal dari adanya kalkulus yang disempurnakan oleh ilmuwan matematika lainnya. Sejarah dalam ilmu matematika saling berhubungan satu sama lain.

Selain itu juga, ilmu ini memungkinkan adanya overlapping antara teori satu dengan lainnya sehingga tidak dapat dengan jelas dibuat timelinenya. Ada beberapa tokoh lain yang berhubungan dengan fungsi yakni Johann Bernoulli, Leonhard Euler, Skolem, dan yang lainnya.

Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi dalam komposisi dapat diartikan sebagai pemetaan dari setiap anggota himpunan asal (domain) kepada anggota himpunan hasil (kodomain). Ada beberapa istilah penting juga yang harus dipahami berkaitan dengan fungsi juga komposisi ini.

Beberapa istilah tersebut adalah komposisi yang artinya susunan. Sedangkan pemetaan adalah suatu relasi atau hubungan. Dalam konteks sebuah hubungan pastinya memiliki keterlibatan objek yang lebih dari satu.

Domain merupakan himpunan asal. Sedangkan kodomain adalah himpunan hasil. Maka dari itu, dapat disimpulkan bahwa fungsi ini adalah materi yang mempelajari bagaimana cara mencocokkan himpunan asal dengan himpunan hasil.

Fungsi juga bisa dikatakan merupakan gabungan operasi antara 2 jenis fungsi yang ada. Sebaiknya kamu mengenal lebih dalam apa yang dimaksud dengan fungsi sebelum membahas lebih jauh tentang fungsi dan komposisi.

Ada dua jenis fungsi yang harus dipahami yaitu fungsi komposisi dan juga fungsi invers. Fungsi dan komposisi adalah penggabungan dari dua fungsi yaitu domain dan kodomain. Jika dibuatkan sebuah rumus fungsi maka dapat disimbolkan f(x) sebagai domain.

Dan selanjutnya g(x) sebagai kodomain. Kedua fungsi ini digabungkan dan disimbolkan dengan “o”. Simbol penggabungan inilah yang disebut dengan komposisi. Komposisi juga biasa disebut dengan bundaran sesuai dengan simbol tersebut.

Rumusan Komposisi

Fungsi yang terbentuk adalah f(x) dan g(x) dan jika digabungkan menjadi (f o g)(x) artinya koefisien g akan dimasukkan ke dalam f. Sedangkan kebalikannya (g o f)(x) yang artinya koefisien f dimasukkan ke dalam g.

Sedangkan fungsi tunggal adalah fungsi yang bisa dilambangkan dengan huruf misalnya g o f bisa dibaca menjadi g bundaran f. Lain lagi dengan fungsi invers yang memiliki arti sebagai fungsi kebalikan.

Dalam hubungannya dengan pembahasan perihal relasi dan juga fungsi, maka himpunan yang terlibat dapat digolongkan menjadi 3 jenis daerah. Pertama adalah himpunan asal (domain), selanjutnya himpunan kawan (kodomain), dan juga himpunan hasil (range).

Fungsi Invers

Himpunan hasil ini merupakan hasil akhir dari pemetaan antara domain dan juga kodomain. Invers fungsi juga bisa muncul dari fungsi yang dinotasikan dengan f(x) kemudian memiliki hubungan antara himpunan A dan juga B.

Sebuah fungsi invers dapat dinotasikan menjadi f – 1(x) karena relasinya berada pada himpunan B ke himpunan A. Fungsi ini diperoleh dari f: dari A menjadi B dan f-1 dari B menjadi A. Sehingga nantinya daerah asal (domain) f(x) akan menjadi daerah kawan.

Begitu juga sebaliknya daerah kodomain akan menjadi daerah hasil atau f-1 (x) dapat berupa himpunan. Hal ini juga berlaku pada himpunan B. Fungsi invers atau fungsi kebalikan merupakan fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya.

Jika f adalah fungsi satu-satunya dan juga dapat dikatakan sebagai fungsi bijektif. Hubungan ini bisa dinyatakan seperti (f – 1) – = f. Dalam fungsi ini maka jumlah anggota pada domain harus sama dengan kodomain.

Tidak ada anggota lebih dalam setiap domain atau kodomain. Masing-masing anggota akan mempunyai pasangan di dalam hubungan keduanya.

Jenis dari Fungsi Komposisi

Ada 2 jenis fungsi yang utama yaitu f bundaran g dan juga g bundaran f. Maksudnya akan dibahas secara lebih jelas dalam pembahasan berikut ini.

1. (g o f) (x)

Cara membaca fungsi tersebut diatas adalah g bundaran f atau fungsi g komposisi f. Artinya adalah fungsi tersebut dipetakan terhadap fungsi f(x) kemudian untuk selanjutnya dipetakan oleh fungsi g (x).

Kamu bisa memilih mengerjakan terlebih dahulu fungsi f, lalu dilanjutkan untuk mengerjakan fungsi g. Notasinya adalah sebagai berikut ini (g o f)(x) = g (f(x)).

Jika melihat ilustrasi diagram panahnya, maka dapat digambarkan sebagai berikut.

2. (f o g) (x)

Cara membaca (f o g) (x) adalah dengan menyebutkan f bundaran g atau fungsi f komposisi g. Maksdunya adalah fungsi g(x) dipetakan terlebih dahulu, dan kemudian dilanjutkan dengan pemetaan fungsi f(x).

Kamu bisa mengerjakan terlebih dahulu pemetaan fungsi g dan hasilnya dimasukkan ke dalam fungsi f. Hasil yang didapatkan adalah (f o g) (x) = f (g(x)).

Jika melihat ilustrasi diagram panahnya, maka dapat digambarkan sebagai berikut.

Sifat Fungsi Komposisi

Ada 3 sifat utama dari fungsi dan komposisi yang akan dijabarkan secara lebih jelas dalam ulasan dibawah ini. Fungsi ini memiliki berbagai sifat menarik yang mencirikan sifatnya sehingga tidak bisa sembarang digunakan.

1. Tidak adanya sifat komutatif (f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

Artinya jika fungsi ini dibalik maka tidak akan sama artinya. Misalnya dapat dibandingkan dengan perkalian. Jika 2 x 5 = 10. Maka 5 x 2 = 10 juga mendapatkan hasil yang sama. Berbeda dengan komposisi fungsi yang tidak berlaku sifat tersebut, karena hasilnya akan berbeda.

2. Berlaku sifat asosiatif yakni fungsi (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

Artinya jika ada 3 fungsi komposisi, f dikomposisikan dengan g. Maka, g dikomposisikan dengan h. Kamu juga dapat mengerjakan terlebih dahulu pengkomposisian antara fungsi g dan h. Lalu f mengkomposisikan dengan hasil kedua komposisi tadi.

3. Adanya unsur identitas (I)(x), (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Maksudnya adalah fungsi f dan fungsi I memiliki identitas yang sama Identitas ini adalah untuk memastikan antara fungsi depan dan fungsi belakang sebetulnya memiliki satu ciri tersendiri. Keduanya tidak dalap digabungkan dan juga secara sembarang mengkomposisikannya.

Contoh Soal 1

Apabila diketahui sebuah fungsi f(x) = 2x + 5 dan g(x) = 3x – 7, maka tuliskan fungsi persamaan (f o g)(x)

Jawaban:

Diketahui :

f(x) = 2x + 5

g(x) = 3x – 7

Jawab:

(f o g)(x) = f (g(x))

= 2g(x) + 5

= 2(3x – 7) + 5

= 6x – 14 + 5

= 6x – 9

Hasil dari (f o g)(x) adalah 6x – 9

Contoh Soal 2

Apabila diketahi bahwa fungsi f(x) = 4x + 3 dan juga fungsi g(x) = x-1. Pertanyaannya apakah (g o f)(x) = (f o g)(x)?

Jawaban:

Dari sifat-sifat fungsi yang telah dipelajari sebelumnya bahwa fungsi komposisi tidak selalu bersifat komutatif. Maka dari itu coba mengujinya dengan persamaan yang ada.

Diketahui:

f(x) = 4x + 3

g(x) = x-1

(g o f)(x) = (f o g)(x)

g (f(x)) = f (g(x))

g (4x + 3) = f (x-1)

4x + 3 -1 = 4 (x-1) + 3

4x +2 = 4x – 4 + 3

4x + 2 ≠ 4x – 1

Dari hasil tersebut, ternyata teori tentang sifat komutatif dapat dibuktikan secara benar. Bahwa fungsi g dengan x apabila dikomposisikan tidak akan sama hasilnya.

Contoh Soal 3

Apabila diketahui f(x) = √(x+1) dan (f o g)(x) = 2 √(x-1). Maka dari itu tentukanlah nilai dari g(x)

Jawaban:

Diketahui

f(x) = x+1

(f o g)(x) = 2 √(x-1)

f (g(x) = 2 √(x-1)

√(g(x) + 1) = 2 √(x-1) artinya tiap ruas dipangkatkan 2

g(x) + 1 = 4(x – 1)

g(x) = 4x – 4 – 1

g(x) = 4x – 5

Jadi nilai g(x) adalah 4x – 5

Contoh Soal 4

Jika diketahui fungsi f(x) = 6x – 3 dan fungsi g(x) = 5x + 4 sedangkan (f o g)(a) = 81. Maka carilah nilai dari a

Jawaban:

Diketahui :

f(x) = 6x – 3

g(x) = 5x + 4

(f o g)(a) = 81

Jawab, maka nilai a adalah

f (g(a)) = 81

f (5a + 4) – 3 = 81

30a + 24 – 3 = 81

30a + 21 = 81

30a = 60

a = 2

maka nilai a adalah 2

Menghitung fungsi dari komposisi sebenarnya dapat dibolak balik, tergantung kepada soal variabel mana yang diketahui. Sedangkan yang terpenting adalah tidak melawan sifat komposisi. Kamu bisa menggunakan berbagai cara untuk mencari nilai yang belum diketahui.

Itulah beberapa persamaan fungsi komposisi. Kamu bisa mempelajarinya lebih banyak untuk bisa mendapatkan pengetahuan yang lebih tentang hal tersebut. Sehingga nantinya lebih mudah dalam menjawab berbagai soal yang disediakan.

Baca Juga Artikel Lainnya: