Sifat-sifat Eksponen Beserta Pengertian, Sifat & Contoh Soalnya

Konsep eksponen sudah tidak asing lagi ditelinga para pelajar. Salah satu rumus yang diajarkan dalam bidang matematika ini memiliki sifat-sifat eksponen yang beragam. Untuk mengetahuinya artikel ini akan membahas segala hal tentang eksponen.

Apakah kamu tahu kapan eksponen mulai dikenal? Metode ini ditemukan pertama kali oleh Euclid, yaitu seorang matematikawan asal Yunani yang dikenal sebagai bapak Geometri. Penggunaanya secara modern pertama kali dilakukan oleh Michael Stifel tahun 1544.

Bilangan eksponen menjadi salah satu metode yang banyak dipilih oleh para peneliti atau matematikawan. Terutama ketika harus menulis angka 0 yang banyak, maupun bilangan desimal yang banyak di belakang 0. Bilangan ini juga sering digunakan untuk bidang ekonomi dan ilmu komputer.

Contents show

Pengertian Eksponen

Sederhananya eksponen diartikan sebagai metode perkalian dengan bilangan yang sama dan diulang-ulang. Singkatnya bisa dikatakan eksponen merupakan perkalian yang diulang-ulang, sedangkan jika ditinjau secara bentuknya yaitu an . dimana a disebut basis dan n merupakan eksponen atau pangkat.

1. Menurut KBBI

Dalam kamus KBBI Eksponen termasuk kata yang tergolong dalam homonim. Pasalnya memiliki ejaan dan pelafalan yang sama, namun memiliki makna yang berbeda-beda. Berikut ini pengertian eksponen dalam kamus KBBI :

Eksponen diartikan sebagai orang yang menjelaskan atau menafsirkan suatu teori. Dimana teori tersebut mewakili dan menjadi contoh dari teori tersebut.
Eksponen juga didefinisikan sebagai orang atau tokoh terkemuka dalam sebuah gerakan maupun bidang kehidupan.
Eksponen merupakan angka yang ditulis di bagian kanan atas angka lainnya. Angka tersebut menunjukan pangkat dari angka tersebut, misalnya 2^3 yang dibaca dua pangkat 3.

2. Menurut Buku Rumus Pocket Matematika SMA

Definisi eksponen cara singkat untuk menuliskan perkalian secara berulang. Selain itu rumus ini memiliki bentuk yang umum.

Sifat-sifat Eksponen Beserta Contohnya

Eksponen dituliskan dengan bentuk a^n atau an= a×a×a×……..a. Akan tetapi jika eksponen digunakan dalam operasi hitung maka sifat-sifatnya akan berubah. Berikut ini sifat-sifat eksponen beserta contohnya.

1. Penjumlahan

Pangkat penjumlahan dilakukan jika dalam sebuah rumus perkalian memiliki basis yang sama. Sehingga pangkatnya ditambahkan, maka rumusnya ditulis dengan cara berikut ini :

a^mx aⁿ= a ^{m + n}

contoh soal : 3² x 3³= 3²⁺³ = 3⁵=243

2. Pengurangan

Sedangkan pangkat pengurangan berlaku pada rumus pembagian. Pangkat dikurangi jika dalam pembagian tersebut memiliki basis yang sama. Sehingga rumusnya akan ditulis sebagai berikut.

a^m : aⁿ = a^m-n

contoh soal :

4⁵ : 4³ = 4^5-3= 4²=16

3. Perkalian

Perkalian pangkat merupakan salah satu dari sifat-sifat eksponen yang berlaku pada bilangan berpangkat yang dipangkatkan. Sehingga pangkatnya kemudian dikalikan. Maka rumusnya sebagai berikut.

(a^m)ⁿ = a^{m × n}

Contoh Soal :

(3²)²= 3^2×2 = 3⁴ = 81

4. Perkalian pada Bilangan yang Dipangkatkan

Rumus ini terjadi jika terdapat perkalian yang dipangkatkan. Sehingga masing-masing bilangan dalam perkalian tersebut dipangkatkan dengan pangkat tersebut. maka rumusnya adalah sebagai berikut.

(a . b)^m = a^m . b^m

Contoh soal :

(2 x 4)² = 2² x 3² = 4 x 14 = 56

5. Pangkat untuk Bilangan Pecahan

Dalam bilangan pecahan yang dipangkatkan, pembilang dan penyebutnya harus dipangkatkan semua dengan ketentuan b ≠ 0. Sehingga penyebutnya tidak boleh = 0, maka rumusnya adalah sebagai berikut.

ab ^m = ambm , b bukan 0

Contoh soal :

65³ = 6353 =216215

6. Rumus Pangkat Negatif

Rumus ini digunakan pada sifat-sifat eksponen yang memiliki bilangan yang berpangkat negatif. Dimana cara menghitungnya pangkat tersebut bernilai 1 per pangkat bilangan eksponen yang menjadi positif. Rumusnya adalah sebagai berikut.a^{– n}= 1an

Contoh soal :

3^{– 3} = 133 = 127

7. Pangkat pada Pecahan

Jika terdapat pangkat yang diakarkan, maka pangkat dari akar tersebut menjadi penyebut dari pangkat bilangannya. Sehingga rumusnya adalah sebagai berikut..

nam = amn

Contoh soal :

234 = 342 =3²= 9

8. Bilangan dengan Pangkat nol (0)

Suatu bilangan dengan pangkat nol maka hasilnya adalah 1 berapapun bilangan basisnya. Rumus ini berlaku dengan ketentuan bilangan basisnya bukan 0 atau a ≠ 0. Berikut ini penulisannya. a^{0 = 1}, a ≠ 0

Contoh soal :

3⁰ = 1

5⁰ = 1

9⁰= 1

Persamaan Eksponen Sederhana

Persamaan eksponen adalah bentuk persamaan yang di dalamnya terdapat fungsi-fungsi eksponen. Bentuk dari persamaan ini memiliki rumus yang beragam. Untuk mengetahuinya berikut ini beberapa persamaan dari eksponen.

1. Rumus Pertama

Jika a^f(x) = 1, sehingga f(x) = 0 rumus ini dapat dicontohkan dengan soal berikut ini :

2^4x-8= 1

4x – 8 = 0

4x = 8

X = 8/4

X = 2

Sehingga dapat ditemukan penyelesaiannya bahwa x = 2

2. Rumus Kedua

a^f(x)= a^p, a ≠ 0 sehingga f(x) = p . Berikut ini contoh soal dari rumus tersebut.

4^2x-4= 3²

2x – 4 = 2

2x = 2 + 4

2x = 6

X = 6/2

X = 3

Jadi penyelsaian untuk x adalah 3.

3. Rumus Ketiga

Jika a^f(x)= a^{g(x) ,}sedangkan a ≠ 0, sehinga f(x) = g(x) , berikut ini contoh soal dari rumus tersebut.

3^2x-8= 3^3x-6

2x – 8 = 3x – 6

2x – 3x = -6 + 8

X = -2

Sehingga penyelesaian soal tersebut x adalah -2.

4. Rumus Keempat

Rumus berikutnya memiliki bentuk a^f(x)= b^f(x), dengan ketentuan a, b ≠ 1 selain itu a ≠ b. Sehingga f(x)= 0, berikut ini contoh dari rumus di atas.

3^2x-4 = 2^2x-4

2x – 4 = 0

2x = 4

X = 2

Maka nilai untuk x adalah 2 pada soal di atas.

5. Rumus Kelima

Jika A(a^f(x))²+ B(a^f(x)) + C = 0 , sehingga untuk menyelsaikan rumus tersebut pemisalannya adalah p = a^f(x). Sebagai contoh bisa dilihat pada soal di bawah ini.

2^x-3 . 2^x+2= 0

(2^x)² – 3 . 2^x+ 2= 0

Jika p = 2^x, maka p²– 3p + 2 = 0 sehingga (p – 2 )(p – 1)

P = 2 atau P = 1

2^x= 2

X = 1

Maka didapatkan penyelesaiannya x adalah 1.

6. Rumus Keenam

Apabila f(x)^g(x)= f(x)^b(x)maka persamaan ini terdapat 4 kemunkinan :

g(x) = b(x)

f(x) = 1

Invers dari Eksponen

Jika sebelumnya membahas sifat-sifat eksponen, selanjutnya kamu juga perlu mengetahui mengenai invers dari eksponen. Apa itu invers dalam eksponen? Invers diartikan sebagai kebalikan, misalnya yaitu jika ada fungsi y= f(x) maka inversnya adalah y= f(x) dan f(x) = f-1(y) berikut cara yang digunakan.

Cara Menentukan Rumus Invers

Untuk mengetahui rumus invers dari eksponen cara yang dilakukan adalah mengubah bentuk y = f(x) menjadi x = f(y). Kemudian x adalah f^-1(y) maka f^-1(y)= f(y), selanjutnya ubah variabel y menjadi x sehingga rumus fungsi invers adalah f^-1(x).

Contoh Soal :

Untuk mengetahui bentuk rumus invers dari eksponen berikut ini contoh soal yang bisa kamu perhatikan. Pada soal pertama dan kedua ubah bentuk logaritma menjadi invers, sedangkan pada soal ketiga dan keempat ubah bentuk invers menjadi logaritma.^3Log81=4

9 = ^3logx
(1/3)^x = 7
8 = 3^x

Penyelesaian :

Berikut ini penyelesaian dari contoh soal di atas :

logaritma 81 pada bilangan pokok 3 maka hasilnya adalah 4, maka jika 3⁴hasilnya adalah 81, sehingga bentuk penyelesaiannya ditulis seperti berikut 3⁴=81
Bentuk persamaan dari 3=^3Logx ekivalen dengan 3³ = x
Pada soal ke 3 persamaan 1/3logx = 7 memiliki ekivalen engan ^1/3log7 = x
Persamaan 8 = 3^x ekivalen dengan 3log8 = x

Penerapan Sifat-sifat Eksponen dalam Kehidupan

Tahu kah kamu? bahwa sifat eksponen yang dipelajari di bangku sekolah menengah sangat berguna dalam membantu memecahkan permasalahan di berbagai bidang. Sehingga salah satu materi ini sangat penting untuk kamu pelajari. Berikut ini beberapa contoh penerapan eksponen.

1. Biologi

Dalam bidang biologi eksponen sering digunakan dalam menghitung pertumbuhan bakteri. Sebagai contoh, berikut ini kasus permasalahannya :

Sebuah amoeba dapat tumbuh secara cepat dengan membelah diri, sehingga dalam waktu tertentu jumlahnya akan terus bertambah. Maka rumus eksponensial yang digunakan adalah A_t= A₀ x (2)^t. A₀= 40 pada pukul 09.00. Berapa jumlah amoeba pada jam 09.08.

Penyelesaian :

A₀= jumlah amoeba

t = lama pengamatan

A_t= A₀x (2)^t

A_t= 100 x (2)⁸

A_t= 100 x 256

A_t= 25.600

Sehingga dalam waktu 8 menti jumlah amoeba tersebut menjadi 25.600

2. Ekonomi

Rumus eksponensial juga diterapkan dalam bidang ekonomi. Umumnya hal ini digunakan dalam perbankan untuk menghitung bunga majemuk. Berikut ini salah satu contoh kasus penerapan eksponensial.

Jika kamu berencana untuk mengumpulkan uang Rp.10.000.000 dalam 10 tahun mendatang. Berapa banyak uang yang harus kamu tabung setiap tahunnya jika bunga majemuk per tahun adalah 24 %? Berikut ini penyelesaiannya.

Dalam menentukan penyelesaian tersebut, kamu harus menggunakan prinsip bunga majemuk yaitu y = p (1 +)^mt dengan keterangan sebagai berikut :

y : modal akhir

p : modal awal

r : besar bunga

m : kelipatan bunga

t : waktu

10.000.000 = p (1 + 0,241)¹⁰

10.000.000 = (1,24)¹⁰

P = 10.000.0001,24 . 10

P = 10.000.00012,4

P = 806.451,61

Sehingga jumlah uang yang harus ditabung setiap tahunnya adalah sekitar 806.45,61.

3. Sosial

Pada bidang sosial, rumus eksponen umumnya digunakan untuk menghitung pertumbuhan penduduk dalam jangka waktu tertentu. Berikut ini contoh penerapan rumus eksponen dalam bidang sosial :

Misal pada tahun 2014 di suatu wilayah memiliki jumlah penduduk sekitar 286.841 jiwa. Lantas berapa perkiraan jumlah penduduk Kabupaten tersebut di tahun 2024, jika laju pertumbuhan penduduk eksponennya yaitu 2,99 %?

Dalam menyelesaikan kasus di atas kamu bisa menggunakan rumus laju pertumbuhan penduduk yaitu : P_{t =}P₀e^rtdengan keterangan:

P_t : Jumlah penduduk tahun 2024

P_{0 :} jumlah penduduk tahun 2014 (286.841)

t : pertambahan jangka waktu

r : laju pertumbuhan penduduk

e : bilangan eksponensial ( 2,71828182)

penyelesaian soal di atas sebagai berikut :

P_t= P₀e^rt

P_t= 286.841 x e^{0,0299 x 10}

P_t= 286.841 x 1.34850962347291

P_t= 386.807,

Sifat-sifat eksponen memiliki bentuk beragam yang bisa kamu pelajari sebagai materi pelajaran di sekolah maupun diaplikasikan dalam berbagai kebutuhan. Rumus ini dapat memudahkan kamu dalam menyederhanakan perkalian dengan kelipatan yang banyak.

Baca Juga Artikel Lainnya: