Bilangan Berpangkat Pecahan, Bentuk Akar, dan Contoh Soal

Dalam mempelajari ilmu matematika, bilangan berpangkat menjadi salah satu bab yang akan didalami. Hal ini karena bilangan pangkat adalah ilmu dasar yang nantinya akan berguna untuk bab-bab selanjutnya dalam kegiatan hitung-menghitung.

Mulai dari menyelesaikan persamaan, hingga membantu perhitungan banyak angka dengan lebih cepat, eksponen sangatlah dibutuhkan. Karena itulah ini menjadi bahasan wajib yang terdapat dalam bab pelajaran di sekolah.

Sementara itu, bilangan yang sering juga disebut sebagai eksponen ini memiliki beberapa sifat melekat yang harus kamu ketahui. Simak terus penjelasan ini untuk mengetahui sifat-sifat itu beserta contoh soal dan jawabannya!

Contents show

Apa Itu Bilangan Berpangkat atau Eksponen?

Secara sederhana, bilangan pangkat atau eksponen adalah perkalian antara bilangan yang sama sesuai dengan jumlah pangkat tersebut. Misalnya saja angka 2 dikalikan dengan angka 2 sebanyak 4 kali, hingga menghasilkan 2x2x2x2, maka bisa diubah menjadi 2 pangkat 4 (2⁴).

Dari situ, maka penulisan bentuk bilangan pangkat secara umum adalah sebagai berikut:

aⁿ= a x a x a x a x…x a

contoh:

5³= 5 x 5 x 5 = 125
2⁵= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

Namun, perlu diketahui bahwa karena terdapat sifat-sifat dalam bilangan pangkat, bentuk umum bilangan pangkat diatas hanya berlaku untuk pangkat positif saja.

Sementara itu, bilangan pangkat memiliki peran begitu besar dalam bidang matematika. Bayangkan saja, jika seorang ilmuwan menjalankan sebuah penelitian dan menghitung kecepatan cahaya dengan hasil 300.000.000.

Tentu saja angka ini terlihat sangat tidak praktis dan semakin membuat pusing kepala. Untuk mengatasinya, angka diatas bisa disingkat dengan menggunakan bilangan pangkat. Sehingga hasil itu bisa ditulis dengan 3 x 10⁸.

Kemudian, yang sering ditanyakan adalah, bagaimana jika bilangan pangkat berbentuk pecahan, akar, ataupun bernilai negatif? Hal ini telah akan dirangkum dalam sifat-sifat yang dimiliki oleh bilangan berpangkat. Untuk mengetahuinya lebih lanjut, simak penjelasan dibawah ini.

Rumus Umum Bilangan Pangkat

Rumus umum dari bilangan pangkat atau bilangan eksponen adalah bentuk umum dari bilangan yang dipangkatkan. Secara umumnya sendiri, bentuk dari bilangan pangkat adalah sebagai berikut:

a^b, dengan syarat:

a bukan angka satu. Karena berapapun pangkat sebuah bilangan, jika bilangan itu sendiri bernilai satu maka hasilnya akan tetap 1.
b adalah anggota bilangan real. Misalnya saja, pangkat termasuk dalam bilangan 2,4,5, -3, -2, dan seterusnya.

Adapun jika diuraikan, pada rumus diatas, a disebut sebagai basis (bilangan pokok yang dasar), sementara b disebut sebagai pangkat (eksponen).

Apa Saja Jenis Bilangan Berpangkat?

Jika menurutkan dengan tanda pangkatnya, terdapat empat jenis bilangan pangkat yang masing-masing memiliki sifat serta formula yang berbeda. Berikut keempat jenis bilangan pangkat beserta contohnya yang bisa kamu pelajari.

1. Bilangan Pangkat Positif

Jenis bilangan pangkat ini merupakan bilangan-bilangan yang memiliki pangkat angka positif. Untuk lebih jelasnya, inilah rumus umum dari bilangan pangkat positif:

Keterangan: a adalah basis (bilangan pokok) dan n adalah pangkat.

Dari rumus diatas dapat dijabarkan bahwasanya basis a yang dipangkatkan dengan n menghasilkan a yang dikali dengan a, seterusnya hingga berjumlah sama seperti pangkatnya.

Contoh:

2³= 2 x 2 x 2 = 8

Dari contoh diatas dapat diambil kesimpulan bahwa saat suatu bilangan memiliki pangkat yang semakin besar, maka nilai bilangan itu juga otomatis semakin besar.

2. Bilangan Pangkat Negatif

Setelah mengetahui jenis pertama, tentu dengan mengetahui nama jenis yang kedua ini pasti kalian sudah tahu. Bilangan pangkat negatif memiliki pengertian yang berbalik dari poin pertama, pada jenis ini, pangkat yang dimiliki suatu bilangan berupa angka negatif.

Secara umum, bilangan pangkat negatif dirumuskan sebagai berikut:

a^-n = ( 1a)^m

Keterangan: a merupakan bilangan riil serta bukan angka 0, dan m adalah bilangan bulat positif.

Contoh:

Selain memiliki pengertian yang berbanding terbalik, sifat dari poin kedua ini juga berbanding terbalik dengan sifat pada poin 1. Pada bilangan pangkat negatif, semakin besar pangkat negatifnya, maka nilai bilangan akan semakin kecil pula.

3. Bilangan Pangkat Nol

Jenis selanjutnya adalah saat suatu bilangan memiliki pangkat nol, maka sebanyak apapun bilangan tersebut, hasilnya adalah 1. Berikut rumus umum dari bilangan pangkat nol:

a⁰= 1

Keterangan: a adalah bilangan riil dan a bukanlah angka 0.

Contoh:

2⁰ = 1
7⁰ = 1
12234⁰ = 1

4. Bilangan Pangkat Pecahan

Pada bilangan yang memiliki pangkat berupa pecahan, maka terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya yang nanti bisa dilihat pada pembahasan sifat-sifat bilangan berpangkat. Sementara itu, untuk rumus umum jenis bilangan pangkat ini adalah sebagai berikut:

a^1/m= p yang merupakan bilangan riil positif, maka, p^m = a

a^m/n= (a^1/n)^m

Keterangan: a adalah bilangan riil serta bukan 0, dan m merupakan bilangan bulat positif.

Contoh:

8^1/3= 2, maka 2³ = 8

2^2/3 = (2^1/3)²

Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Dalam mengoperasikan bilangan pangkat atau eksponen, kamu tidak boleh asal begitu saja dan harus memahami dengan baik sifat-sifat yang ada pada bilangan ini. Hal ini begitu penting karena sifat-sifat inilah yang nanti menjadi acuan utama dalam mengoperasikan bilangan pangkat.

1. Sifat Penjumlahan Pangkat

Apabila terdapat perkalian antara dua atau lebih angka berpangkat dengan basis (bilangan pokok) yang sama, maka akan diterapkan sifat penjumlahan pangkat. Artinya, sifat satu ini berlaku untuk perkalian bilangan pangkat dengan basis yang sama saja.

Apabila bilangan pangkat dengan basis yang sama dikalikan, maka jumlahkan pangkatnya.

a^bx a^c = a^b+c

Contoh:

2³ x 2² = 2³⁺²= 2⁵
2³ x 2⁴ x 2² = 2³⁺⁴⁺² = 2⁹

Dari contoh diatas, dapat diamati bahwa sifat penjumlahan pangkat bisa dilakukan karena basis atau bilangan pokok sama, yaitu berupa angka 2. Sementara itu, jika basis tidak sama, maka sifat penjumlahan pangkat tidak bisa berlaku.

2. Sifat Pengurangan Pangkat

Hampir sama dengan poin sebelumnya, konsep dasar sifat pengurangan pangkat akan berlaku jika basis atau bilangan pokok sama. Yang membedakan jika sebelumnya dikalikan, kali ini sifat pengurangan pangkat berlaku pada bilangan dengan basis sama yang dibagi.

Sehingga dapat disimpulkan, apabila bilangan pangkat dengan basis yang sama dibagi, maka kurangi pangkatnya.

Sama dengan poin sebelumnya, sifat pengurangan pangkat ini tidak akan berlaku jika bilangan pokok atau basis tidak sama.

3. Sifat Perkalian Pangkat

Sifat perkalian pada pangkat bisa diterapkan untuk bilangan berpangkat yang dipangkatkan lagi. Artinya, jika terdapat suatu bilangan yang dipangkat, kemudian dipangkatkan lagi, maka kalikan pangkat tersebut.

(a^b)^c = a^b^{x c}

Contoh:

(5²)³ = 5^{2 x 3}= 5⁵
(2³)² = 2^{3 x 2}= 2⁶

Sifat perkalian pangkat ini juga berlaku untuk bilangan pangkat yang dikalikan dengan bilangan pangkat yang sama, yang mana basis dan pangkat sama.

Contoh:

(5⁵)²= 5⁵x 5⁵

Lantas pertanyaannya, bagaimana jika basisnya sudah sama, tetapi pangkat berbeda? Maka kamu tidak bisa menerapkan sifat ini, dan bisa menyelesaikannya dengan menggunakan sifat penjumlahan pangkat.

4. Sifat Pembagian Pangkat

Sifat pembagian pada pangkat akan berlaku dalam model bilangan akar. Jadi, sebelum melangkah lebih jauh tentang sifat pembagian pangkat, akan lebih baik jika mempelajari perubahan bentuk yang terjadi pada bentuk bilangan akar menjadi eksponen terlebih dahulu.

Disaat sebuah bilangan di akar, maka apabila diubah dalam eksponen akan menjadi bilangan berpangkat pecahan.

Rumus:

Setelah memahami konsep ini, maka sifat pembagian pada pangkat akan lebih mudah dicerna. Sifat ini bisa diterapkan untuk bilangan pangkat yang diakar. Harap berhati-hati, karena yang dibagi nantinya adalah pangkat, bukan basis. Untuk lebih mudahnya, berikut contohnya:

5. Sifat Pangkat Satu

Angka 1 merupakan angka yang ikonik dalam operasi hitung matematika. Hal ini karena perkalian maupun pembagian dengan angka satu akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Tentu, hal yang sama juga berlaku pada perpangkatan.

Jika dipikirkan kembali, pangkat adalah bentuk sederhana dari perkalian basis yang dipangkatkan. Artinya, jika 2³maka berarti 2 dikalikan dua sebanyak 3 kali (2 x 2 x 2). Jadi bagaimana jika 2 dipangkatkan 1, maka artinya hanya ada angka 2 itu sendiri tanpa perlu dikalikan lagi

Dari sini dapat disimpulkan bahwa berapa banyak pun basisnya, jika dipangkatkan 1 maka akan menghasilkan bilangan pokok itu sendiri.

a¹= a

Contoh:

2¹= 2
25¹= 25
789¹ = 789
179862¹ = 179862

Sifat Pangkat Negatif

Salah satu syarat yang harus dipenuhi oleh pangkat adalah menjadi bagian dari bilangan real. Jika dari tadi yang dibahas adalah bilangan pangkat positif, jangan lupa bahwa bilangan pangkat negatif juga adalah hal yang mungkin.

Lantas, bagaimanakah sifat yang ada pada bilangan pangkat negatif? Simak rumusan umumnya berikut ini:

a^-b= 1/a^b

Dari bentuk bilangan diatas, maka dapat disimpulkan bahwa pangkat negatif akan membentuk sebuah pecahan. Dalam hal ini pembilangnya 1 serta penyebutnya adalah basis dengan pangkat itu sendiri.

Contoh Soal Bilangan Berpangkat dan Jawabannya

Karena memiliki banyak sifat, maka penggunaannya pun juga sangat beragam dalam memecahkan persoalan-persoalan.

Untuk lebih memperdalam lagi pemahaman tentang bilangan pangkat, inilah beberapa soal serta jawaban yang bisa kamu amati dan pelajari!

1. Contoh Soal 1

Tentukan nilai y yang dapat memenuhi persamaan 6^2y-4= 36³

Pembahasan:

Untuk menemukan nilai y, caranya adalah dengan menggunakan model subtitusi dengan langkah awal menyamakan bilangan pada ruas kiri dan kanan. Kemudian pikirkan basis yang tepat, benar sekali, jawabannya adalah 6 karena 36 merupakan hasil dari 6^2.

Setelahnya, buat 36 menjadi 6 kuadrat agar pangkat keduanya bisa dibuat persamaan sehingga persoalan ini dapat dipecahkan, sehingga:

Jadi, nilai y yang dapat memenuhi persamaan adalah 5.

2. Contoh Soal 2

Berapa hasil dari operasi hitung (-5)³+ (-5)² + (-5)¹ + 5⁰?

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persoalan diatas, akan mudah jika menyelesaikan satu persatu perpangkatan soal tersebut, sehingga:

(-5)³= (-5) x (-5) x (-5) = -125
(-5)²= (-5) x (-5) = 25
(-5)¹= -5
5⁰= 1

-125 + 25 + (-5) + 1 = -104

Jadi, hasil dari operasi hitung diatas adalah -104.

Setelah mengetahui secara lengkap mulai dari pengertian, jenis, sifat, hingga contoh dari bilangan berpangkat, pasti belajar Matematika untuk kedepannya akan lebih seru lagi. Tetap semangat dan jangan lupa untuk menghafalkan sifat-sifat bilangan pangkat diatas, ya!

Baca Juga Artikel Lainnya: