Deret Aritmatika - Pengertian, Sejarah, Cara Menghitung, Contoh

Deret aritmatika merupakan satu sub mata pelajaran matematika yang mulai diajarkan di sekolah dasar hingga sekolah menengah. Matematika juga selalu menjadi pelajaran paling menakutkan bagi murid sekolah karena berbagai alasan. Salah satunya adalah karena sulit dimengerti.

Pelajaran matematika menuntut nalar dan juga kemampuan berhitung yang baik dari para penggunanya. Akan tetapi, dalam kehidupan sehari-hari kita juga tidak bisa terlepas dari matematika. Misalnya saja dalam berbelanja kebutuhan sehari-hari.

Tentunya kamu harus menggunakan penjumlahan dan pengurangan termasuk konversinya juga ke dalam mata uang. Hal ini tidak terlepas dari matematika. Bilangan deret hanya salah satu contoh dari sekian banyaknya yang harus dipelajari dalam matematika.

Contents show

Pengertian Deret Aritmatika

Sebelum masuk lebih jauh ke dalam pembahasan dan rumus-rumus tentang barisan aritmatika, maka ada baiknya memahami terlebih dahulu tentang definisi penting dari deret dalam aritmatika ini. Akan disertakan juga contoh untuk lebih dapat memahaminya dengan baik.

Deret dalam aritmatika adalah barisan bilangan yang terbentuk disebabkan oleh selisih antara suku bilangan yang berurutan dan tetap. Sedangkan pengertian deretnya dapat dideskripsikan dari jumlah keseluruhan suku-suku yang ada.

Ada perbedaan signifikan tetapi saling berkaitan antara deret dan barisan aritmatika. Keduanya memiliki perbedaan istilah. Akan tetapi, sangat berkaitan erat utamanya bila digunakan dalam penyelesaian soal.Untuk itulah perlu diketahui lebih lanjut tentang hal tersebut.

Contoh Deret dan Penjumlahan Aritmatika

Penjelasan tersebut kemungkinan akan sulit dipahami oleh sebagian besar orang karena belum dijelaskan secara rinci tentang contoh dari barisan aritmatika. Selanjutnya akan dibahas beberapa contoh yang bisa membuat semakin memahami tentang hal ini.

Perhatikan deretan angka berikut ini 1,3,5,7,9,11,13,15,… dst. Deretan angka tersebut mempunyai pola yakni angka yang di depannya dijumlahkan dengan angka 2. Angka 1 pada deret tersebut bisa disebut sebagai suku ke-1. Angka 3 bisa disebut sebagai suku ke -2.

Begitu pula untuk angka-angka selanjutnya. Kamu juga bahkan bisa menghitung suku ke-100 dengan menggunakan rumus atau formula yang lebih cepat tanpa harus bingung menghitung satu persatu dari suku pertama hingga mendapatkan hasil suku ke-100. Ini disebut dengan barisan aritmatika.

Sedangkan deret aritmatika adalah penjumlahan dari barisan tersebut. Misalnya gunakan deret yang diatas lalu jumlahkan. S8 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64. Jumlah totalnya dari 8 deret angka tersebut adalah 64. Deret ini juga bisa dihitung dengan menggunakan rumus.

Kamu juga bisa memperhatikan barisan aritmatika berikut ini 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, … dst. Jika diperhatikan deret tersebut merupakan bilangan di depannya dikalikan dengan angka 3. Barisan aritmatika tidak hanya berupa penjumlahan dan pengurangan.

Akan tetapi juga termasuk perkalian, bahkan juga kombinasi dari semua faktor pembagi, pengali, penjumlahan, pengurangan di dalam matematika. Asalkan semuanya jumlahnya berulang sesuai dengan formula yang ditentukan. Ini disebut dengan barisan aritmatika.

Sejarah Munculnya Deret Aritmatika

Belum ada sumber yang bisa menjelaskan secara pasti bahwa barisan bilangan ini ditemukan oleh siapa. Akan tetapi, ada beberapa penjelasan tentang seorang matematikawan dan saintis asal Jerman yang menemukan teori ini.

Adalah Carl Friedrich Gauss yang dipercaya mengembangkan teori ini sejak ia masih duduk di bangku sekolah dasar. Ia menemukan metode menghitung ini untuk menjumlahkan bilangan bulat dari 1 hingga 100. Caranya adalah dengan mengalikan n/2 pasangan.

Apabila dijumlahkan maka nilai masing-masing pasangan adalah n+1. Ada juga beberapa teori lain yang menyebutkan bahwa penemu bilangan matematika ini adalah ilmuwan yang bahkan sudah ada sejak jaman sebelum masehi.

Misalnya saja Phytagoras dan Archimedes dari Yunani yang terkenal dengan segitiga Phytagoras dan hukum fisika Archimedes. Selain itu ada juga Zhang Qiujian dari Cina dan Aryabratha, Brahmagupta yang berasal dari India. Maka dari itulah teori tentang penemu deret ini masih belum diketahui secara pasti.

Cara Menghitung Dengan Menggunakan Rumus

Rumus deret dalam aritmatika dapat dilihat dalam formula berikut ini:

Sn = n/2 (a+Un) atau

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

Keterangan :

Sn = jumlah n suku pertama

n = banyak suku dalam barisan aritmatika

a = suku pertama barisan aritmatika

b = beda

Dalam rumus ini, maka deret aritmatika dapat disimbolkan sebagai Sn. Hal pertama yang harus dilakukan adalah membagi jumlah suku yang diinginkan dengan bilangan 2 (n/2). Selanjutnya lakukan penghitungan yang ada di dalam kurung.

Pertama kurangi banyaknya suku dalam barisan aritmatika (n-1). Selanjutnya adalah mengalikan hasil tersebut dengan beda (b). Perlu diingat dalam aturan penjumlahan, pengurangan, dan pembagian bahwa yang di dalam kurung didahulukan.

Selanjutnya lakukan formula perkalian dan pembagian untuk mendapatkan hasil yang tepat. Ingat kembali aturan tersebut. Ada juga beberapa rumus lain yang bisa kamu gunakan, akan tetapi ini adalah rumus yang termudah.

Rumus ini akan membantu kamu untuk mencari suku ke n (suku keberapa pun) dalam deretan aritmatika yang ada. Kamu bisa menyimak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Apabila diketahui sebuah barisan aritmatika 27, 24, 21, 18, … dst. Hitunglah jumlah 20 suku pertamanya. Maka jawabannya adalah sebagai berikut:

Diketahui : a = 27

b = U2-U1, dimana yaitu 24-27 = -3

Jawaban :

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

S20 = 20/2(2 x 27) + (20 – 1) x (-3)

S20 = 10 x (54 + 19 x (-3))

S20 = 10 x (54 + 57)

S20 = 10 x (-3)

S20 = -30

Jadi, kesimpulannya, apabila 20 suku pertama dari deret aritmatika tersebut dijumlahkan maka jumlahnya adalah -30.

Contoh Soal 2

Apabila diketahui suku ke 8 dalam deret aritmatika adalah 20. Jumlah antara suku ke-2 dan ke-16 adalah 30. Maka suku ke-12 dari deretan bilangan aritmatika tersebut adalah…

Diketahui :

U8 = 20

U2 + U16 = 30

Jawaban:

Pertama kamu bisa membuat persamaan terlebih dahulu

U8 = 20

U8 = a + 7b

Maka,

U2 + U16 = 30

(a+b) + (a + 15b) = 30

2a + 16b = 30

Selanjutnya dapat dieliminasi:

a + 7b = 20 dikalikan dengan 2

2a + 16b = 30

Maka

2a + 14b = 40

2a + 16b = 30

Jadi, 2b = -10

b = -5

Selanjutnya substitusikan pada salah satu persamaan diatas untuk mendapatkan nilai a

a + 7b = 20

a + 7(-5) = 20

a – 35 = 20

a = 55

Jadi, suku ke 12 bisa didapatkan dengan cara berikut:

U12 = 55 + (12-1)(-5)

U12 = 55 + 11(-5)

U12 = 55 – 55

U12 = 0

Kesimpulannya, suku ke 12 nya adalah 0 (nol).

Pengertian dan Rumus Barisan Aritmatika

Sebenarnya perbedaan antara deret dan barisan aritmatika adalah jika deret aritmatika merupakan penjumlahan suku, sedangkan barisan aritmatika adalah untuk mengetahui suku ke-… termasuk mengetahui suku yang tidak ditampilkan dalam deret.

Rumus dari barisan aritmatika ini adalah:

Un = a + (n-1)b

b = Un – Un-1

Keterangan:

Un = suku ke-n

U1 = merupakan suku pertama dalam barisan aritmatika

b = beda

n = suku ke-

Contoh Soal

Jika diketahui sebuah barisan deret aritmatika yakni U1, U2, U3,…, 54, 58. Dari barisan tersebut diketahui bahwa suku tengahnya adalah 30 dan total deret aritmatika dari keseluruhan total adalah 45. Hitunglah jumlah suku yang terdapat pada deret aritmatika diatas.

Soal ini sebenarnya merupakan gabungan antara deret dan barisan aritmatika. Keduanya memang tidak dapat dipisahkan untuk bisa menemukan jawaban dari soal-soal yang diberikan. Akan tetapi, dalam soal tersebut sudah tersedia berbagai informasi yang cukup untuk bisa menjawab pertanyaan.

Pertama-tama temukanlah beda ari pertanyaan yang diberikan diatas. Caranya adalah sebagai berikut:

b = Un – Un-1

b = 58 – 54

b = 4

bedanya adalah 4. Selanjutnya setelah menemukan beda maka dapat dilanjutkan dengan menemukan suku pertama dalam barisan aritmatika tersebut. Caranya dapat diketahui dari informasi suku tengah. Suku pertama ini penting nantinya untuk mengetahui keseluruhan deret ini.

Ut = (a + Un) / 2

30 = (a + 58) / 2

30 = a/2 + 29

30 – 29 = a/2

1 = a/2

a = 2

Diketahui bahwa suku pertamanya adalah 2. Selanjutnya maka langkah terakhir adalah memasukkan semua variabel tersebut ke dalam rumus deret dalam aritmatika untuk menentukan suku pada barisan aritmatika yang diberikan. Caranya adalah sebagai berikut:

Sn = 1/2n (2a + (n-1)b)

450 = 1/2n ((2 x 2) + (n-1) 4)

450 = 1/2n (4+ 4n-4)

450 = 2n2

450/2 = n2

225 = n2

15 = n

Maka, jumlah suku yang ada di deret dan barisan aritmatika ini adalah sebanyak 15 suku. Kamu bisa melihat dari perhitungan berikut ini:

S450 = 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58

Penggunaan Deret dan Barisan Aritmatika

Jangan kira bahwa belajar deret dan juga barisan aritmatika tidak akan berguna nantinya di dalam kehidupan kamu. Beberapa penggunaan yang lekat dalam berbagai bidang sehari-hari adalah:

1. Bidang Statistik

Kamu yang bekerja di bidang statistik pasti familiar dengan angka dan juga deretan bilangan berfungsi untuk proyeksi dan analisis dari hal yang diteliti. Untuk itulah deret ini sangat membantu pekerjaan beberapa orang yang menguasai bidang ini.

2. Bidang Ekonomi

Selain itu, penggunaan deret dan barisan aritmatika ini seringkali digunakan oleh perencana keuangan, Misalnya saja seorang analis saham akan memprediksi saham yang dibelinya untuk bisa menguntungkan klien. Maka bisa menggunakan proyeksi ini.

Mengetahui tentang deret dan barisan aritmatika akan mempengaruhi kemampuan kamu untuk bisa menjawab soal. Baik itu dalam soal ujian akhir, ujian sekolah, dan juga yang lainnya. Dengan mempelajari rumus yang diberikan kamu akan dapat menguasai pembelajaran dengan baik.

Selain itu, deret aritmatika juga seringkali membantu dalam kehidupan sehari-hari, misalnya jika kamu sebagai seorang manajer investasi atau bekerja di bidang statistik dan keuangan. Maka hal ini akan sangat membantu dalam mengerjakan berbagai analisis.

Baca Juga Artikel Lainnya: