Dalam ilmu Matematik, ada yang disebut dengan barisan aritmatika dan deret aritmatika. Sebenarnya, keduanya merupakan hal yang tidak dapat dipisahkan karena barisan serta deret ini memiliki keterkaitan satu sama lain.

Aritmatika itu sendiri adalah bagian dari ilmu Matematika yang membahas soal operasi dasar bilangan yang mencakup pembagian, perkalian, pengurangan dan penjumlahan. Meskipun ada yang disebut dengan barisan dan deret, namun kali ini khusus menjawab pertanyaan apa itu barisan aritmatika?

Contents show

Pengertian Barisan Aritmatika

Singkatnya, barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang mempunyai pola yang tetap. Adapun pola yang dimaksud bisa terbentuk berdasarkan operasi pengurangan atau penjumlahan. Dengan demikian, maka setiap urutan suku bilangan akan mempunyai selisih yang besarnya sama.

Nanti, selisih inilah yang akan disebut dengan beda dan umumnya disimbolkan dengan huruf b. Dengan demikian, bisa diambil contoh barisan aritmatika sebagai berikut:

Suku pertama adalah angka 2 dan biasa disimbolkan dengan U1 atau yang secara matematis akan dinyatakan sebagai a
Suku kedua adalah angka 5 dan biasa disimbolkan dengan U2
Lalu suku ketiga adalah angka 8 dan biasa disimbolkan dengan U3 dan seterusnya

Melihat contoh di atas, maka bisa disimpulkan bahwa barisan aritmatika berturut-turut adalah 2, 5, dan 8. Melihat angka-angka ini, antara angka 2 dengan angka 5 ada selisih 3 angka. Begitu juga dengan angka 5 dan angka 8 ada selisih 3 angka pula.

Macam Barisan Aritmatika

Perlu diketahui juga bahwasanya barisan aritmatika ini ada 2 macam, yaitu barisan turun dan barisan naik. Barisan turun merupakan barisan angka yang nilai bilangannya negatif atau berkurang. Sedangkan kalau barisan turun, ini adalah barisan angka yang nilai bilangannya positif atau bertambah.

Mari ambil contoh berikut untuk mempermudah pemahaman:

7, 14, 21, 28, 35 (Untuk contoh ini, antara angka 7 dengan angka 14 selisihnya 7, kemudian dari angka 14 dengan angka 21 selisihnya 7, dan dari angka 21 ke angka 28 selisihnya 7, begitu dari angka 28 ke angka 35 selisihnya juga 7. Barisan bilangan ini memiliki beda yang bernilai 7 dan dari angka pertama hingga angka terakhir terus bertambah atau positif, jadi barisan ini merupakan barisan naik)
45, 40, 35, 30 (Untuk contoh ini, dari angka 45 ke angka 40 ada selisih 5, kemudian dari angka 40 ke angka 35 ada selisih 5, begitu dari angka 35 ke angka 30 ada selisih 5. Selisih setiap angka memang 5, namun dari angka pertama ke angka terakhir ada pengurangan sehingga nilainya negatif. Jadi barisan yang kedua ini merupakan barisan turun)

Seperti yang sudah disampaikan sebelumnya, barisan aritmatika adalah barisan bilangan dimana selisih antar bilangan adalah sama. Selisih ini biasa disebut dengan beda sehingga jika nilai beda (b) adalah positif, maka barisan aritmatika tersebut naik.

Namun sebaliknya, jika nilai beda (b) tersebut negatif, maka barisan aritmatika tersebut turun. Sampai di sini sudah semakin paham dengan barisan aritmatika bukan?

Rumus Barisan Aritmatika dan Contoh Soal Barisan Aritmatika Tingkat Mudah

Angka-angka yang disebutkan dalam barisan ini bisa disebut sebagai suku. Ketika ada soal yang mengharuskan kamu untuk mencari suku ke-n atau Un, alih-alih melakukan perhitungan manual, kamu bisa menggunakan rumus saja supaya lebih cepat. Rumus yang dimaksud sebagai berikut.

Rumus untuk mencari suku ke-n:

U_n = U1 + (n – 1)b atau U_n = a + (n – 1)b

Rumus untuk mencari nilai beda:

b = U_n – U_n-1

Keterangan:

U_n = suku ke – n
U₁ / a = suku pertama
U_n-1= suku ke n-1
B = beda
n = banyaknya suku dalam barisan

Dari rumus di atas, selanjutnya mari aplikasikan dalam contoh soal sebagai berikut:

Soal : Ada barisan aritmatika sebagai berikut 3, 7, 11, 15, … Tentukan suku ke – 10 dalam barisan tersebut!

Jawab : Diketahui bahwa

U₁ = a = 3

b = U₂ – U₁ = 7 – 3 = 4

n = 10,

maka

U_n = a + (n – 1)b

U₁₀ = 3 + (10 – 1)4 = 39

Sehingga dari soal di atas bisa diketahui bahwa suku ke – 10 dari barisan yang dimaksud adalah 39.

Rumus Barisan Aritmatika Lainnya

1. Rumus Cepat Mencari Suku Ke – n

Soal dan pemecahannya di atas termasuk kategori soal yang mudah. Sebab, suku pertama serta beda atau selisih setiap suku juga bisa diketahui dengan mudah. Namun, lain ceritanya ketika ada soal yang suku pertamanya saja belum diketahui berikut dengan beda atau selisihnya.

Untuk soal yang seperti ini, sebenarnya ada rumus yang juga bisa digunakan untuk mempercepat perhitungan. Tentunya, rumus yang dimaksud berbeda dengan rumus sebelumnya ya, dan cara menghitung barisan aritmatika dalam kasus seperti ini sebagai berikut.

Rumus cepat untuk mencari suku ke – n

n_i =Uni-Un1+(n1 . b)b

Rumus cepat untuk mencari beda atau selisih

b =Un2-Un1n2-n1

Keterangan:

U_n1 = suku yang diketahui dan n paling kecil
U_n2 = suku yang diketahui dan n paling besar
U_ni = suku yang diketahui namun suku ke berapa masih belum diketahui
b = beda
n1 = suku ke berapa yang paling kecil
n2 = suku ke berapa yang paling besar
ni = suku ke berapa yang ditanyakan

Dengan menggunakan rumus tersebut, meskipun suku pertama dan beda atau selisih dalam barisan belum diketahui, perhitungan akan menjadi lebih mudah. Agar lebih paham lagi, mari simak contoh soal berikut ini.

Soal : Apabila suku ke-3 bernilai 8 dan suku ke-5 bernilai 14, maka 29 akan menjadi suku ke …

Jawab : Diketahui bahwa U_n1 = 8, U_n2 = 14, n1 = 3 dan n2 = 5, maka

Pertama, cari beda atau selisih dalam barisan itu terlebih dahulu

b=Un2-Un1n2-n1 = 14-85-3 = 62 = 3

Jika beda sudah diketahui, selanjutnya tingga mencari suku yang ditanyakan

n_i =Uni-Un1+(n1 . b)b =29-8 + (3 .3)3 =303 = 10

Dengan demikian, diketahui bahwa 29 merupakan U₁₀ atau suku ke – 10

2. Cara Mencari Suku Pertama Barisan Aritmatika

Ada juga soal yang akan meminta kamu untuk menentukan suku pertama. Soal seperti ini sebenarnya termasuk soal yang mudah asalkan kamu paham betul dengan konsep serta rumus dasar dalam barisan ini. Jadi, kamu harus mengingat kembali rumus yang sebelumnya, yaitu Un = a + (n – 1)b.

Ambil contoh soal sebagai berikut.

Contoh Soal 1

Apabila suku keempat adalah 55 dan suku ketujuh adalah 85 dan beda dalam barisan tersebut adalah 10, maka berapakah suku pertamanya?

Untuk soal seperti ini penyelesaiannya ada dua cara, yakni dengan menyusun suku-suku yang sudah diketahui (SPLDV) atau dengan memanfaatkan beda barisan. Kedua cara akan memberikan hasil yang sama.

Namun untuk contoh di atas, mari selesaikan dengan memanfaatkan beda barisan karena cenderung lebih mudah. Sehingga pembahasannya sebagai berikut.

Diketahui: U₄ = 55, U₇ = 85, dan b = 10

Dengan memanfaatkan suku keempat sehingga n = 4

Un = a + (n – 1)b

U4 = a + (4 – 1)b

55 = a + 3b

55 = a + 3 (10)

a = 55 – 30 = 25

Dengan memanfaatkan suku ketujuh sehingga n = 7

U7 = a + (7 – 1)b

85 = a + 6 (10)

A = 85 – 60 = 25

Jadi, baik dengan menggunakan suku terbesar maupun dengan menggunakan suku terkecil, hasilnya ada sama, yakni 25.

Contoh Soal 2

Apabila suku kelima 27 dan suku kesembilan adalah 39, tentukan suku pertama dari barisan tersebut!

Dalam soal ini beda dalam barisan tidak diketahui dan ada tiga langkah penyelesaiannya sebagai berikut.

Langkah 1 menyusun persamaan untuk suku-suku yang diketahui

>> Untuk suku kelima atau n = 5

U5 = a + (5 – 1)b

27 = a + 4b

>> Untuk suku kesembilan atau n = 9

U9 = a + (9 – 1)b

39 = a + 8b

Langkah 2 selesaikan sistem persamaan linear yang sudah terbentuk di atas baik dengan metode substitusi maupun dengan metode eliminasi. Untuk kali ini, akan digunakan metode substitusi.

>> Persamaan (1)

a + 4b = 27 bisa diubah menjadi a = 27 – 4b

>> Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2)

39 = a + 8b

39 = 27 – 4b + 8b

4b = 39 – 27 = 12

b = 3

Langkah 3, substitusikan nilai b di atas untuk mendapatkan nilai a, bisa menggunakan persamaan (1) maupun menggunakan persamaan (2). Namun untuk pembahasan kali ini menggunakan persamaan (1).

a = 27 – 4b = 27 – 4(3) = 27 – 12 = 15

Dari ketiga langkah penyelesaian di atas, akhirnya diketahui bahwa suku pertama untuk barisan yang dimaksud adalah 15.

Barisan Aritmatika Bertingkat

Mudahnya, barisan aritmatika bertingkat adalah barisan yang nilai beda tetapnya tidak bisa langsung ditemukan di tingkat pertama sehingga nilai beda tersebut harus dicari di tingkay-tingkat berikutnya. Dalam barisan yang bertingkat ini, ada banyak sekali bisa sampai tingkat sepuluh dan seterusnya.

Apabila nilai beda tetap bisa ditemukan saat di barisan tingkat pertama, ini namanya barisan bertingkat satu. Sedangkan jika nilai beda tetap bisa ditemukan saat di barisan tingkat kedua, ini namanya barisan bertingkat dua, begitu seterusnya. Untuk mempermudah pemahaman, mari simak contoh berikut.

Barisan bilangan 1, 5, 12, 22, 35, … dari barisan bilangan ini, belum terlihat nilai beda tetapnya bukan? Dari angka 1 ke angka 4 bedanya 4, dari angka 5 ke angka 12 bedanya 7, dari angka 12 ke angka 22 bedanya 10, dan dari angka 22 ke angka 35 bedanya 13
Jadi, barisan di atas dengan bedanya dapat ditulis seperti ini

1, 5, 12, 22, 35

4 7 10 13

Sekarang, jika angka 4, 7, 10 dan 13 di atas dianggap sebagai barisan baru, akan terlihat bahwa antara suku pertama dan kedua, suku kedua dan ketiga dan seterusnya memiliki nilai beda yang tetap yakni 3 sehingga bisa menjadi seperti ini.

1, 5, 12, 22, 35

4 7 10 13

3 3 3

Dalam kasus ini, jika 4, 7, 10 dan 13 dianggap sebagai barisan tingkat 1, kemudian suku baru yang sebenarnya adalah hasil dari selisih barisan sebelumnya dianggap sebagai barisan tingkat 2, maka nilai beda tetap dari barisan tersebut dianggap ditemukan di tingkat kedua.

Mempelajari barisan aritmatika sepintas memang tampak rumit. Namun jika kamu tahu konsep dan prinsip dasarnya serta mengingat rumus-rumusnya, maka materi ini tidak akan menjadi masalah lagi. Selain itu, untuk lebih mengasah kemampuan, sering-seringlah berlatih mengerjakan soal ya.

Baca Juga Artikel Lainnya: