Fungsi Invers Pengertian, Rumus, Komposisi, Contoh Soal Dll

Kalau kamu duduk di kelas X SMA mungkin sudah menerima materi pelajaran Matematika tentang fungsi invers. Kata invers berasal dari bahasa Inggris dan memiliki arti terbalik. Jadi artinya, fungsi yang mempunyai fungsi kebalikan dari fungsi asalnya dan dilambangkan dengan f^(-1).

Selain digunakan dalam perhitungan fungsi, invers di dalam Matematika juga dipakai untuk menghitung matrik. Seperti fungsi dalam materi Matematika lainnya, invers juga memiliki rumus yang digunakan dalam perhitungan.

Kalau hanya melihat rumusnya saja, mungkin materi invers ini akan terlihat rumit, padalah tidak demikian adanya. Perhitungan invers dapat dilakukan dengan mudah, asal konsep dasarnya sudah dipahami terlebih dahulu.

Contents show

Pengertian Fungsi Invers

Sudah sedikit disinggung pada bagian awal bahwa fungsi dari invers adalah sesuatu yang berkebalikan dari fungsi asalnya. Namun, ternyata tidak selamanya demikian sebagaimana penjelasan yang ada di dalam buku “Modul Pembelajaran Matematika Umum SMA Kelas X”.

Di dalam buku pelajaran Matematika karangan Entis Sutisna tersebut, invers dari fungsi tidak selalu akan menghasilkan fungsi. Ada syarat yang harus dipenuhi agar invers bisa menghasilkan fungsi, yaitu jika f merupakan korespondensi satu-satunya atau menjadi fungsi bijektif dari invers.

Penjelasan Tentang Fungsi Bijektif dan Fungsi Satu-Satu

Supaya bisa lebih jelas memahami tentang fungsi bijektif dan fungsi satu-satu pada invers, kamu dapat melihatnya pada contoh berikut ini.

Fungsi bijekif

Fungsi satu-satu

Dari bagan diatas, bisa dijelaskan sebagai berikut :

Fungsi bijektif bisa terjadi saat semua anggota dari kodomain mempunyai pasangan pada domain. Mudahnya, pada fungsi bijektif semua anggota pada domain dan kodomain memiliki pasangan.
Fungi satu-satu invers adalah semua anggota pada domain mempunyai pasangan dari kodomain. Singkatnya, pada fungsi satu-satu boleh menyisakan satu anggota domain yang tidak berpasangan dengan anggota dari kodomain.

Invers Suatu Fungsi Adalah

Sebelum bicara dan membahas lebih lanjut tentang rumus invers dan bagaimana cara perhitungannya, kita lihat dulu apa pengertian invers dari suatu fungsi. Dari segi etimologi, invers memiliki arti suatu fungsi yang mempunyai kebalikan dengan fungsi asal.

Secara umum, yang mempunyai lambang (f) hanya bisa memiliki invers (f^-1) kalau fungsi tersebut menjadi satu-satun dan juga fungsi bijektif. Apakah fungsi bijektif itu? Yang dimaksud dengan fungsi bijektif adalah saat jumlah domain sama dengan jumlah anggota dari kodomain.

Lalu, apakah pengertian domain dan kodomain itu? Pengertian domain adalah daerah asal, dan kodomain berarti daerah hasil. Dari pengertian domai dan kodomain tersebut akan menjadikan fungsi (f) memetakan A ke B, dan fungsi invers kebalikannya, yaitu B ke A.

Jadi, jika fungsi (f) : A🡪B telah ditentukan menggunakan aturan y = f(x), maka dapat dituliskan dengan : invers (f^-1) = B🡪A, dimana aturan yang dipakai adalah x= f^-1 (y).

Sehingga, kalau kamu ingin menentukan invers, maka caranya harus melalui beberapa tahapan berikut ini.

Ubah lebih dulu bentuk y = f(x) menjadi kebalikannya, yaitu x = f(y)
Selanjutnya kamu tuliskan x dengan f^-1, sehingga didapatkan persamaan dengan rumus f^-1(y) = f(y)
Lalu ubah variabelnya yaitu x menjadi y, sehingga pada persamaan terakhir didapatkan f^-1(x) = f(y)

Invers Matriks Adalah

Disamping digunakan untuk menghitung, invers juga digunakan dalam perhitungan matriks. Apa maksud dari invers matrik tersebut? Pengertian invers matriks adalah kebalikan dari matrik, dimana ketika matrik dikalikan dengan inversnya maka hasilnya adalah matrik identitas.

Suatu matriks dapat memiliki invers kalau determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan 0 (nol). Bagaimanakah cara untuk menentukan invers matrik? Kamu dapat menghitungnya dengan menggunakan acuan ordo 2×2 ataupun 3×3.

Rumus perhitungan invers matriks dengan ordo 2×2 adalah :

Mengacu dari rumus di atas, kalau hendak mengetahui berapa invers matriks ordo 2×2 adalah sebagai berikut :

Tukarkan elemen-elemen yang terdapat pada diagonal utama.
Berikan atau tambahkan tanda (-) pada setiap elemen yang lainnya.
Setelah itu, lakukan pembagian pada setiap elemen matrik dan determinannya.

Sedangkan untuk rumus matriks ordo 3×3, adalah sebagai berikut :

Cara menghitung invers matriks dengan ordo 3×3 dapat dilakukan melalui 2 metode, yaitu adjoin dan transformasi baris elementer. Apakah yang dimaksud dengan adjoin? Pengertian adjoin adalah transpose matrik dimana elemennya berupa kofaktor elemen matrik tersebut.

Fungsi Invers Matriks

Apa dari invers matriks itu? Invers matriks mempunyai fungsi untuk menyelesaikan persoalan pada sebuah matriks. Sebelum kamu memakai rumus invers matriks, maka hal pertama yang harus dilakukan adalah mengetahui determinannya lebih dulu.

Apakah yang disebut dengan determinan? Pengertian determinan adalah nilai yang bisa diperhitungkan lewat unsur-unsur matriks persegi. Invers matriks adalah kebalikan dari kedua matriks tersebut.

Jika matriks tersebut dikalikan, maka akan menghasilkan suatu matriks persegi yang dilambangkan dengan (AB = BA = │). Adapun simbol dari invesrs matrik adalah pangkat -1 yang diletakkan pada bagian atas dari hurufnya, yaitu f^-1.

Rumus Fungsi Invers

Fungsi invers merupakan suatu fungsi pada Matematika dimana artinya kebalikan dari fungsi asalnya. Suatu yang dilambangkan dengan (f) hanya dapat dikatakan mempunyai invers (f^-1) jika memenuhi persyaratan seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya.

Suatu fungsi hanya akan mempunyai invers kalau merupakan bijektif ataupun fungsi satu-satu, seperti apa yang telah dibahas di atas. Dari situlah akan didapatkan hubungan fungsi menjadi suatu rumus :

f = (f^-1)^-1

Adapun rumus lengkap fungsi invers adalah sebagai berikut :

Selain rumus fungsi dari invers seperti di atas, masih ada rumus dengan komposisi. Rumus invers dengan fungsi komposisi bisa dilihat di bawah ini.

Fungsi Komposisi Invers

Di atas telah dituliskan rumus fungsi komposisi invers, agar lebih paham akan dibahas sedikit tentang pengertiannya. Fungsi adalah hubungan himpunan A kepada himbunan B, dimana tiap-tiap anggota dari himpunan A dipasangkan dengan satu anggota himpunan B.

Himpunan A adalah domain dan himpunan B disebut sebagai kodomain. Pada hubungan antara himpuan A dan B ini terdapat dua macam, yaitu komposisi dan invers. Apakah yang dimaksud dengan fungsi komposisi itu?

Fungsi kompisisi adalah gabungan diantara dua fungsi, f(x) dan g(x) dan memiliki simbol “o”, yang dibaca sebagai bundaran atau komposisi (lihat pada rumus di atas).

Pengertian fungsi komposisi yang lainnya yaitu keadaan dimana dua fungsi digabungkan secara berurutan untuk membentuk fungsi yang baru. Penggabungan dari dua fungsi, f(x) dan g(x) tersebut akan membentuk suatu fungsi baru yaitu :

Cara membaca rumus di atas adalah (f o g) dibaca sebagai “fungsi bundaran g”. Mengacu pada rumus tersebut, maka g akan dikerjakan lebih dulu baru setelah itu mengerjakan fungsi f. Berbalik dengan rumus kedua dimana (g o f), yang dibaca “fungsi bundaran f”, maka f dulu dikerjakan baru g.

Setelah itu, barulah diketahui fungsi invers dari perhitunga tersebut, yaitu fungsi yang berkebalikan dari asalnya. Jika bentuk asalnya adalah fungsi f maka inversnya adalah f^-1.

Fungsi komposisi ini memiliki sifat-sifat tertentu yang membedakannya dengan fungsi yang lain. Sifat komposisi invers diantara adalah :

Tidak berlaku sifat komutatif
Sifat yang berlaku adalah asosiatif
Memiliki elemen identitas.

Lambang Fungsi Invers

Setelah pembahasa yang cukup panjang di atas, apakah kamu sudah paham apa lambang fungsi invers dan penggunaannya? Tepat sekali kalau kamu menjawab lambang dari invers adalah pangkat -1 (^-1) yang dituliskan setelah hurufnya.

Contoh, misalnya matriks X adalah invers dari matriks Y, maka bisa dituliskan dengan simbol :

X = Y-1 (y^-1)

Sedangkan jika matriks Y merupakan invers dari matriks X, maka simbolnya ditulis sebagai berikut :

Y = X-1 (x^-1)

Dari penjelasan dan rumus di atas, bisa ditarik kesimpulan bahwa matriks X dan Y adalah dua buah matriks yang saling berkebalikan atau invers.

Contoh Soal Fungsi Invers

Sekarang kamu pastinya sudah mulai memiliki sedikit gambaran tentang invers dan fungsinya. Sekali lagi, kamu harus selalu ingat bahwa pengertian invers menurut bahasa adalah kebalikan. Sedangkan pengertian invers berarti kebalikan dari fungsi asalnya.

Supaya lebih jelas, kamu bisa melihat contoh soal berikut ini.

1. Klub bola mempunyai sumber penghasilan yang berasal dari tiket penonton yang dijual saat ada pertandingan. Berapa besarnya dana tersebut tergantung pada berapa banyak jumlah penonton yang melihat pertandingan tersebut.

Suatu klub bola membocorkan informasi bahwa besarnya pendapatan yang diperoleh klub dari hasil penjualan tiket mengikuti rumus fungi f(x) = 250X + 15.000, dimana X adalah jumlah penonton yang membeli tiket pertandingan bola.

Berapakah invers pendapatan dari penjualan tiket penonton tersebut?

Cara mengerjakannya adalah :

Buat pemisalan f(x) = y
Hitung f(x) 🡪 f(x) = 250X + 15.000
Setelah itu, tentukan rumus f^(-1)(y) = x
Ganti variabel y dengan x
Mulai lakukan perhitungan sesuai rumus yaitu :

y = 250X + 15.000

= -250X = y – 15.000 (dikalikan dengan -1)

= 250X = y – 15.000

= X = (y – 15.000) / 250

= f^(-1) (x) = (X – 15.000)/250

2. Jika diketahui f : B -🡪 B dengan f(x) = 3X – 7, tentukan berapa nilai f^(-1) (X) dari fungsi tersebut.

Cara untuk mengerjakannya dengan menggunakan tahapan sebagai berikut :

Buat pemisalan f(x) = y 🡪 f(x) = 3X – 7 diubah menjadi y =3X – 7
Tentukan rumusnya, yaitu f^(-1) (X) dan ingat bahwa f^(-1) (y) = x, dan gantilah variabel y dengan x.

Buat perhitungannya, yaitu :

y = 3X – 7

= 3X =y + 7

= X = (y+7)/2

= f^(-1) (x) = (y+7)/2

Dari kedua contoh di atas, kamu bisa melihat bagaimana mengetahui invers suatu fungsi berikut tahapan-tahapan untuk menghitungnya sesuai dengan rumus.

Demikianlah pembahasan tentang invers dalam Matematika, yang juga menjadi materi pelajaran bagi siswa kelas X SMA. Sekalipun terlihat rumit, namun sebenarnya invers suatu tidaklah sesulit yang dibayangkan, selama kamu telah memahami konsepnya.

Kamu hanya perlu selalu mengingat bahwa kata invers memiliki arti kebalikan, jadi invers fungsi adalah fungsi yang berkebalikan dari asalnya. Setelah itu pahami bagaimana rumus dan langkah-langkah untuk menentukan nilainya, semudah itu saja. Selamat belajar, semoga sukses.

Baca Juga Artikel Lainnya: